小兔子雷暴收益
作者：猪巴永不氪金 (10 服巴朵兰恩)
2024 年 3 月 24 日
1 问题
以大橙子的视频为例（视频连接：https://v.douyin.com/iFnCNh4u/），视频中对战方使用召唤激 励技巧在两回合内拉满小兔子伤害，那么现在得出一个比较重要的问题，兔子是否像视频标题一样 存在无限激励的用法？其收益如何？基于此，本文讲解析小兔子雷暴的持续性收益，以回答上述两个问题。
2 计算与解析
为得到较好的解析性质，首先对问题的本身进行简化。将大橙子视频中的对战方缩减为 2 个单 位，风加美与风兔子。其中，加美暴击率假定为 100%，并且每次横排吹风必暴击；同时小兔子每 回合满怒，每回合可释放必杀技。敌方为 6 个单位，5 个前排，1 个后排，血量无限大且无防爆，无 闪避。每回合开始后，加美先用 0 怒群攻前排，随后兔子再利用必杀技雷斩后排单位。每回合结束 后，敌人消除所有负面效果，包括感电状态，如此循环。值得注意的是，以上简化是兔子的极限效 果，可视为实际对战收益的理论上限。
2.1 静态概率与分布计算
为方便后面的计算和模拟，标识和说明如下：
(1)加美暴击后，所受感电效果 (因暴击而叠上感电) 的敌人数量为
，而兔子电击后所 受叠雷攻击 (即多重攻击) 的敌人数量为
，注意
不包括后排直接雷斩的 1 单位，否则上限为 6；
(2)根据兔子 10 级觉醒技能说明，单个敌人因所受加美暴击而得到感电效果的概率为
；而感电之后受叠雷攻击的概率为
(见下图)。
现所受叠雷敌人数量最小值为 0 最大值为 5，不同数量值所对应的概率为
上式的概率所计算的是加美 0 怒攻击后得到感电的敌人单位至少为 𝑛，且兔子必杀雷斩集中的敌 人单位为 𝑛，二者共同发生的概率。因此，上述公式的两项二项式中，后一项为所受感电效果敌人数量的概率；
这一概率由加美触发，决定了兔子雷斩敌人数量的上限；而前一项为给定受感电效果 敌人的数量，在兔子雷斩后最终被雷劈中的敌人数量的概率。依据感电效果的概率 𝑝1 与受叠雷攻 击概率 𝑝2 的值，下面以计算 𝑛 = 0 的情况为例，即加美 0 怒攻击前排既无单位得到感电效果，兔 子必杀技也无法叠雷的概率。将 𝑛 = 0 代入公式，得到
上式计算结果说明，若想加美暴击前排不产生感电效果同时兔子雷斩没有叠雷结果出现的概率仅 16.67%。在此示例之上，我们可依次计算 𝑛 = 1···5 的情况，具体如下。
不难验证，𝑛 取值的 5 种情况概率之和为
，说明上述概率计算正确。从静态概率结果中可见兔子叠雷攻击敌人数量最大的两个值为 𝑛 = 1 与 𝑛 = 2，那么加上被攻击的后排数量 1，出现概率最大的敌人数量为 2 与 3，这与大橙子视频中的情况一致。
基于此，进一步计算兔子每回合叠雷的敌人数量期望与方差，具体为
为方便计算，将敌人 0 至 5 的数量设为连续区间，同时将兔子每回合叠雷数量转化为连续统𝑋 ∈ [0, 5]，上述事件近似为连续区间上带有限制的正态分布
。这一分布说明兔子每回合叠 雷敌人数量的均值为 1.5，即每回合平均雷斩击中敌人总量为 2.5 人；而 1 的方差说明被击中敌人 数量的上下扩散度。为进一步形象说明，下图分别给出了静态概率和分布的抽样图。如图所见，在 离散状态下，𝑛 = 1 与 𝑛 = 2 的概率值最高；而将其连续化后，均值处于 1 与 2 之间，并且均值 左侧的曲线值 (对应概率值) 高于右侧，这也对应离散情况下 𝑛 = 0 的概率 (16.67%) 皆大于 𝑛 = 3 (13.34%)，𝑛 = 4 (2.88%) 与 𝑛 = 5 (0.25%) 的概率。
2.2 最优停时的计算
现在将上述设定动态化，而动态化的展示有两类设定。第一类是依据上述离散的概率进行多样 本与多时期抽样，例如考虑 2000 个样本，每个样本依据离散化概率抽样 100 期。这一数学含义是 指让加美与兔子的搭配运行 100 回合为单位，总共测试 2000 次，依此看每回合具体的斩敌平均数 量为多少。具体如下图所示，离散抽样结果显示兔子每回合平均叠雷数量为 1.5 左右，与静态值一 致，这并不能有效说明兔子雷暴的持续收益。为此我们需要连续概率分布进行进一步的探究，求得当兔子雷斩收益达到某一要求所需要的回合数，用以衡量兔子雷暴的持续收益。
现考虑每回合从正态分布
抽取兔子叠雷敌人的数量，计为
，并且叠雷数 量最多不超过 5，故限制
。同时，为计算当兔子满足某一收益时所需要的回合数，即最优 停时 (stopping time)，令
为初始值。为得到合意的结果，以兔子叠雷击中略高于均值的敌 人数量 1.6 为基准参考，高于均值为正以 𝑥 − 1.6 > 0 数值计入叠雷数量加总中，低于均值为负且以 𝑥 − 1.6 < 0 数值计入，因此此时设叠雷数量分别达到 -5 与 20 时环境模拟结束，故这两类数值为上 下限。给定概率空间
，因兔子每回合叠雷击中敌人数量本质上为布朗运动
(Brownian motion)，基于其性质 
在事件
(为 𝜎 代数) 上存在关系
故叠雷数量加总过程在动态中为一个上鞅 (supermartingale)，那么由最优停时定理 (Optimal Stopping Theorem) 知触碰边界的概率为
指上述动态过程最大将有七成以上的概率触碰下界，至少三成以下将触碰上界。为进一步计算触碰 边界所需时间，构造函数
，容易证明存在性质
故过程 
是一个下鞅 (submartingale)。其中，
的具体值为
则再次利用下鞅的性质，可得到
指平均最多于 107 回合触碰到边界。直观模拟可见下图，图中可以得到两点重要的信息：第一，蓝 色的样本走势表明兔子总收益更容易接近下界，意味着兔子单回合叠雷数量小于 2 的概率很大，并 且从持续收益来看非常容易触及“失格线”，输出的收益不佳。以模拟数据为例，最短在第三回合 兔子收益就已触碰下界。第二，最优停时计算了兔子收益触碰上界的最多回合数，指最差的情况下 兔子于 107 回合内至少一次达到收益“及格线”。倘若不考虑该理论值，模拟结果显示最快达到收 益“及格线”的回合数也在 20 回合之后，进一步验证兔子的持续收益不佳。
3 结论
基于上述分析，我们现在可以回答文初的两类问题。 首先，根据文中所设置的际对战收益的理论上限，兔子每回合叠雷数量大几率为 1 或 2，概率 分别为 35.91% 与 30.96%；若加上雷斩本体这一数字为 2 与 3。 其次，从整体上来看，兔子叠雷数量为 0 的概率反而大于叠雷数量高于 3 的概率。具体而言，叠雷数量为 0 的概率为 16.67%，皆大于叠雷数量为 3 的概率：13.34%，叠雷数量为 4 的概率：2.88%与叠雷数量为 5 的概率：0.25%，可见满雷的概率几乎微乎其微。整体概率由下表所示：
再次，通过动态的考查，兔子的持续收益并不可观。以前文的模拟数据为例，我们在模拟数据 中发现兔子在时序上更容易触碰“失格线”而非“及格线”。数据表明兔子最快触碰“失格线”的最 少回合数仅为 3，而触碰“及格线”的最少回合数则需至少 20 回合之后。另外，假设最坏的情形发 生，兔子达到“及格线”的理论回合数为 107 回合，足以说明持续收益较低，因此不建议兔子作为 续航输出。
